Одни стартеры крутятся в одну сторону, а другие в другую см. здесь

Постоянные магниты в стартерах см. здесь

Ремонтировал стартер, поменял бендикс, заодно помыл корпус и очистил магниты, они легко снимаются.

Бендикс новый, но прокручивает, видимо, не достает до маховика,  или бендикс не тот?

Если бендикс новый, то скорее всего он рабочий и если правильно установлен, то до маховика достает. Просто у Вас стартер крутится в другую сторону. Бендикс в этом случает прокручивается вхолостую.

Но как это возможно, поменял бендикс, а стартер крутится в другую сторону?

А не надо было трогать магниты. Магниты должны стоять точно на своих местах, если они перепутаны, то стартер крутится в другую сторону.

От чего зависит в какую строну крутится стартер?

Направление вращения зависит от направления тока в обмотке якоря (ротора) и от направления магнитного поля. Если магниты стоят неправильно, значит меняется направление магнитного поля и это меняет направление вращения.

Как понять что стартер крутится в другую сторону. Правильное направление вращения стартера, это когда он при включении крутится в ту же сторону, куда свободно крутится бендикс.

Надо снять стартер и пальцем прокрутить бендикс, он прокрутится только в одну сторону, в эту сторону и должен крутиться стартер. Теперь подсоединить стартер к аккумулятору напрямую - минус на корпус, плюс на клемму с косичкой (минуя втягивающее). Стартер закрутится, он должен вращаться в ту строну в которую свободно вращается бендикс. Если он вращается другую сторону, значит магниты стоят неправильно.

Как должны стоять магниты в корпусе стартера

Магнитов может быть 4, может быть 6.    Подробно о магнитах см. здесь

Во-первых, надо точно понимать, что магниты на вид одинаковые, но на самом деле, они разные (здесь все подробно). Намагничены они так, что у одних изнутри север, а у других юг. 

Магниты должна стоять через один и точно на своих местах, относительно корпуса, а значит относительно щеточного узла. 

Если магниты сняты и перепутаны, то сначала их надо рассортировать. Для этого, взять любой посторонний магнит и подносить к нему магниты стартера одной и той же стороной. Те. которые притягиваются отсортировать от тех, которые отталкиваются.  Не обязательно разбираться где южный где северный полюс

Вставить их в гнезда через один. (Направляющие, куда вставляются магниты уже выставлены относительно щеточного узла) 

Собрать стартер и проверить направление вращения. Если крутится в нужную сторону, то есть, туда же, куда  свободно крутится бендикс, то проблема решина. А если крутится в другую сторону, надо снова разобрать стартер и сдвинуть все магниты на один шаг  (в любую сторону). Стартер теперь точно закрутится в нужную сторону.